Διανυσματικοί χώροι, διανυσματικός λογισμός (σύντομη επισκόπιση), έννοια καμπύλης στον R^3. Στοιχεία τοπολογίας, Χώροι Hausdorff, Χάρτες συντεταγμένων, Άτλαντες, ορισμός Διαφορίσιμης Πολλαπλότητας (ΔΦ). Τανυστές και τανυστικός λογισμός, εφαπτόμενοι χώροι (Cartan formalism), ορισμός μετρικής σε ΔΦ (χώροι/τανυστής Riemman), παράλληλη μεταφορά διανυσμάτων, Γεωδαισιακές γραμμές, σύμβολα Christoffel, συναλλοίωτη παραγώγιση. Ομοπαραλληλικές πολλαπλότητες χωρίς μετρική. Γεωδεσιακή απόκλιση και καμπυλότητα, καμπυλότητα Riemman. Θεωρία Επιφανειών σαν χώροι Riemman dimV=2, πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή, θεώρημα Egregium (Gauss), γεωμετρική επισκόπηση των συμβόλων Christoffel και των εννοιών συναλλοίωτης παραγώγισης σε επιφάνειες. Εφαρμογές σε Διανυσματικό λογισμό με γενικά συστήματα συντεταγμένων, Κλασσική Μηχανική, Ρευστομηχανική, λογισμό μεταβολών, και Ειδική, Γενική Θεωρία Σχετικότητας.